나이퀴스트 이론 : Nyquist Frequency

나이퀴스트 이론

신호는 그 신호에 포함된 가장 높은 진동수의 2배에 해당하는 빈도로 일정한 간격으로 샘플링하면 원래의 신호로 복원할 수 있다는 샘플링 이론이다.

 

샘플링에 대해서 간단하게 설명하자면, 움직이는 것의 불연속적인 순간을 잡는 것을 의미한다.

[ 샘플링 예시 ]

사람의 눈으로 움직이는 물체를 볼 때는 물체의 동작을 쭉 이어서 보게 된다.

하지만, 카메라는 물체의 움직임을 '짧은 간격'을 두고 연속해서 찍는다.

그리고, 연속해서 찍은 사진들을 차례로 사람에게 보여주면 사람의 뇌는 이를 '물체가 움직인다!'라고 인식하게 된다.

장면과 장면 사이 비어있는 움직임을 뇌 스스로가 채운다. 또는, 처리 장치에서 보간을 해준다라고 이해하면 좋다.

이렇게 카메라가 움직이는 물체의 불연속적인 순간을 잡는 것을 '샘플링'이라고 한다.

샘플링은 '카메라'에만 국한되는 것이 아니며, 사운드 등 다양한 상황 속의 '불연속적인 순간'을 잡는 것이라고 생각하면 편하다.

 

나이퀴스트 이론에 대한 예시를 들어보자.

[ 나이퀴스트 이론 예시 ]

사람의 가청 주파수 대역은 20Hz ~ 20KHz이다.

만약 전화기를 통해 지원할 수 있는 최대 주파수가 4KHz라면, 샘플링 이론을 적용하여 최대 주파수의 두 배 이상을 적용하면 8KHz, 즉 초당 8000번 이상 샘플링 한다면 다시 복원했을 때 이를 완벽하게 복원할 수 있게 된다.

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기본적으로 일반적인 신호는 아날로그 신호인데, 컴퓨터가 처리할 수 있으려면 디지털 신호로 바꿔줘야 한다.

이를 샘플링이라고 부른다.

 

디지털 신호로 바꿔주는 과정에서 신호의 손실이 없어야 일반적인 신호와 가까운 신호로 얻을 수 있다.

 

아날로그 신호를 디지털화하는 과정을 ADC(Analog to Digital Convertion)라 한다.

 

아래는 ADC의 전체 과정에 대한 그림이다.

ADC 전체 과정

전체 과정은 이런데, 하나씩 훑어보자.

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아날로그 신호 → 샘플링된 디지털 신호

ADC 과정에서 샘플링되는 신호는, 디지털의 형태로 저장이 된다.

 

이 과정에서 샘플링되는 신호를 양자화(Quantization)시킨다.

 

양자화 : 여러 단계로 나뉜 범위 안에서 샘플링된 신호에 가까운 범위를 대표하는 정수값으로 바꾸는 것

양자화

 

오디오 CD의 경우에는 16비트로 양자화가 되기 때문에

신호 레벨은 2¹⁶= 66536 으로 구분되어, (-32768) ~ (+32767)의 65536개의 양자화 레벨로 구분된다.

양자화 레벨은 간단히 해상도로 생각하면 된다.

 

이때 양자화 과정에서 정수로 바뀌면서 원래 아날로그 신호와 비교했을 때 생기는 오차를 양자화 오차(Quantization Error)라고 한다.

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샘플링된 디지털 신호 → 아날로그 신호로 변환 → 복원된 아날로그 신호

 

오디오 파일이 재생될 때 컨버터에서는 디지털 데이터를 다시 아날로그 신호로 변환하고, 필터를 통과하면 원래의 아날로그 신호로 복원된다.

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나이퀴스트 주파수

결론적으로, 위의 과정을 겪으면서 양자화 오차로 인하여 신호를 복원하는 과정에서 우리는 기존 아날로그 신호와는 차이가 존재하는 신호를 얻게 된다.

 

이 과정에서 양자화 오차를 무시하고 샘플링 이론이 만족되면, 완벽하게 오리지널 신호가 복원된다.

 

신호를 복원했을 때 기존 아날로그 신호의 유실 없이 복원되기 위해서는 얼마만큼의 신호를 샘플링하기 위한 것을 볼 수 있는 것이 나이퀴스트 주파수이다.

 

아래의 내용이 나이퀴스트 주파수를 이해하기 쉽게 설명한 표다.

좌측 : 샘플링 / 우측 : 오버샘플링 [ 파란색 : 기존 신호 / 빨간색 점 : 샘플링 / 노란색 점 : 복원(보간되는 형태) ]

좌측 사진을 봐보자. 샘플링을 하고 복원이 되는 과정에서 어느 정도 비슷해진 것을 볼 수 있다.

하지만, 나이퀴스트 이론을 적용한 샘플링의 복원 상태를 보면 복원되는 신호가 기존 신호와 비슷해지는 것을 볼 수 있다.

 

결론적으로 나이퀴스트 이론이란

신호는 그 신호에 포함된 가장 높은 진동수의 2배에 해당하는 빈도로 일정한 간격으로 샘플링하면 원래의 신호로 복원할 수 있다는 샘플링 이론인 것을 파악할 수 있다.